Трехзначная система Рейтинга

В двузначной логике из закона исключенного третьего выво­дятся: 1) 2) Исходя из утверждения, что настоящим является только 2-ое, Гейтинг разработал трехзначную пропо­зициональную логику. В этой логической системе импликация и отрицание отличаются от определений этих операций у Лукасе­вича только в одном случае. «Истина» обозначается 1, «ложь» — 0, «неопределенность» — 1/2. Тавтология воспринимает значение

1 (табл. 15, 16).


Таблица 15

Отрицание Трехзначная система Рейтинга Гейтинга

х
½

Таблица 16

Импликация Гейтинга

х /у 1/2
½ ½

1) [Сху]=1 ,если

2) [Сху] = [у],если

Конъюнкция и дизъюнкция определены обыденным методом как минимум и максимум значений аргументов.

Если учесть только значения функций 1 и 0, то из матриц системы Гейтинга вычленяются матрицы двузначной логики. В этой трехзначной логике закон непротиворечия Трехзначная система Рейтинга является тавто­логией, но ни закон исключенного третьего, ни его отрицание тавтологиями не являются. Оба правильных модуса условно-категорического силлогизма, формула правила де Моргана и закон исключенного 4-ого: — тавто­логии.

Хотя по сопоставлению с логикой Лукасевича в матрицах отрица­ния и импликации Гейтингом в его системе были произведены маленькие конфигурации Трехзначная система Рейтинга, результаты оказались значительными: в системе Гейтинга являются тавтологиями многие формулы традиционного двузначного исчисления выражений.

Трехзначная система Бочвара30

Система русского логика Д. А. Бочвара построена на раз­делении выражений на имеющие смысл (т. е. настоящие либо неверные) и глупые. Бочвар выделяет наружные формы (либо функции) и внутренние. Внутренние формы Трехзначная система Рейтинга Бочвар именует традиционными содержательными функциями переменных выска­зываний, а наружные формы — не классы чески ми. У Бочвара «ис­тина» обозначается Л, «ложь» — F, «бессмысленность» — S. Мы обозначим «истину» как 1, «ложь» — 3, «бессмысленность» — 2. Тавтология воспринимает значение 1; а, Ь, с... обозначают перемен­ные выражения.

В истинной работе не приводится полное определение функ­ций (в Трехзначная система Рейтинга силу его трудности). Бочвар ввел два вида отрицания — внутреннее и наружное, которые определяются таблично, — внутреннее отрицание, — наружное отрицание, — внутрен­нее отрицание наружного утверждения.

В системе Бочвара ни закон тождества двузначной логики, ни его отрицание не являются тавтологиями. Отрицание закона тождества сыграло не последнюю роль при анализе феномена Трехзначная система Рейтинга Рассела. Бочвар же не отбрасывает принцип «а есть а» либо в его системе формулане является доказуемой.

Противоречиями в логике Бочвара являются последующие формулы: 1) 2) 3)Тут символ значит внешнюю равнозначность (эквивалентность), символ — внеш­нюю равносильность.

Бочвар выстроил свое трехзначное нечисление с целью разрешения парадоксов традиционной математической логики способом формального подтверждения бессмысленности Трехзначная система Рейтинга опре­деленных выражений. А именно, при помощи собственной системы Бочвар сумел разрешить феномен Рассела о огромном количестве всех обычных множеств, доказав несуществование такового предмета, как огромное количество всех обычных множеств. В дей­ствительности это значит, что, так как предметная область состоит из фиксированных предметов, о которых можно рассуждать по Трехзначная система Рейтинга законам традиционной формальной логики, огромное количество всех обычных множеств нельзя рас­сматривать как фиксированный предмет, не изменяющийся в то время, пока о нем речь идет. Система Бочвара позволяет элиминировать феномен Рассела, не прибегая к теории типов.

n-значная система Поста31

Система Поста является обобщением двузначной логики, ибо при л=2 в качестве Трехзначная система Рейтинга личного варианта мы получаем двузначную логику. Собственной системе Пост отдал интерпретацию. Значения истин­ности сущность 1, 2,..., л где л — конечное число. Тавтологией является формула, которая всегда воспринимает такое значение i, что где значения 1, ..., S именуются выделенными либо отмеченными; может быть, что

Пост вводит два вида отрицания (N*x Трехзначная система Рейтинга и N1x)y соответственно именуемые повторяющимся и симметричным. Они определяются методом матриц и средством равенств.

1-ое отрицание определяется 2-мя равенствами:

1. LY1x]=M+l при

2. [^п]=1.

2-ое отрицание определяется одним равенством:

[N2x]=n-[x] + \.

Матрица, определяющая 1-ое и 2-ое отрицания, имеет вид табл. 17.

Таблица 17

x N 2x N 2x Трехзначная система Рейтинга
. . . n -1 n . . . n n n -1 n -2 n -3 . . .

Соответствующей особенностью 2-ух отрицаний Поста будет то, что при л=2 эти отрицания совпадают меж собой и с от­рицанием двузначной логики, что подтверждает тезис: много­значная система Поста есть обобщение двузначной логики.

Конъюнкция и дизъюнкция определяются соответственно как максимум и Трехзначная система Рейтинга минимум значений аргументов. При обозначенных опре­делениях отрицания, конъюнкции и дизъюнкции находится, что при значении для х, большем 2-ух, законы непротиворечия и исключенного третьего, также отрицания этих законов не являются тавтологиями.

Если значениями истинности являются 1, 2, 3, то из n -значной системы Поста вычленяется трехзначная логика, т. е. Ръ. Анало­гично при значениях Трехзначная система Рейтинга истинности 1, 2, 3, 4 выходит четырех­значная логика Р4 и т. д.

Трехзначная система Р3 Поста имеет последующую форму (табл. 18, 19).

В этих таблицах приняты обозначения, введенные Постом при n-3:1-ое отрицание обозначается через 2-ое отрицание — через конъюнкция — через дизъюнкция — через импликация — через эквиваленция — через

Если в качестве значений истинности взяты только 1 «истина» и Трехзначная система Рейтинга 3 «ложь», то из таблиц системы Р3 Поста вычленяются таблицы для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции двузначной логики.

В системе Рэ тавтология воспринимает значение 1; закон ис­ключенного третьего не является тавтологией ни для первого, ни для второго отрицания Поста, но является тавтологией закон исключенного 4-ого для первого отрицания Трехзначная система Рейтинга.

Трехзначная система Рейхенбаха32

Аппарат неоднозначных логик находит все более обширное применение в разных науках. Проанализируем применение аппарата трехзначной логики Г. Рейхенбаха к квантовой меха­нике.

Большая часть операций этой системы было введено уже По­стом, но с целью приложения собственной системы к квантовой меха­нике Рейхенбах вводит новые. У Трехзначная система Рейтинга Поста было введено два вида отрицания — 1-ое и 2-ое. В системе Рейхенбаха они называ­ются повторяющимся отрицанием и диаметральным отрицанием, не считая их Рейхенбах ввел полное отрицание. В системе Рейхен­баха имеются стандартная импликация и стандартная эк­вивалентность Вводятся и другие операции: другая импликация , квазиимпликация и другая Трехзначная система Рейтинга эквива­лентность Знаком «•» обозначена конъюнкция, —ди­зъюнкция.

Таблица для 3-х видов отрицаний Рейхенбаха. Обозначения:

— повторяющееся отрицание; — А — диаметральное отрица­ние; — полное отрицание.

Рейхенбах обозначил «истину» как 1, «неопределенность» — 2, «ложность» — 3. Тавтология воспринимает значение 1 (табл. 20).

Таблица 20

Другие функции Рейхенбаха определяются матрицами так (табл. 21).

Отметим ряд параметров, присущих отрицаниям в системе Рей­хенбаха.

Для повторяющегося отрицания Трехзначная система Рейтинга верен закон снятия тройного отрицания: т. е. в итоге тройного отрицания

А возвращаемся к начальному значению А. Для повторяющегося отрицания законы непротиворечия и исключенного третьего, пра­вила де Моргана двузначной логики не являются тавтологиями, но тавтологией является закон исключенного 4-ого:

Для диаметрального отрицания сохраняется правило снятия двойного отрицания Трехзначная система Рейтинга: Ни сами законы непротиворечия и исключенного третьего, ни их отрицания при диаметраль­ном отрицании не являются тавтологиями.

Для полного отрицания оказались тавтологиями закон непро­тиворечия, псевдозакон исключенного третьего, закон исключен­ного 4-ого, правила де Моргана, закон

Рассмотрев три вида отрицания в их связи, Рейхенбахпоказал, что меж повторяющимся и полным отрицанием Трехзначная система Рейтинга имеет место последующее отношение:

(1)

Ранее отмечалось, что для повторяющегося отрицания является тавтологией закон исключенного 4-ого: Последние два члена его можно поменять на основании равенства (1) на и получить для полного отрицания формулу которую Рейхенбах именовал «псевдозаконом исключенного третье­го», ибо он не имеет параметров закона исключенного третьего двузначной логики Трехзначная система Рейтинга. Причина последнего в том, что полное от­рицание не имеет параметров обыденного отрицания: оно не дает нам способности найти значение истинности А, если мы знаем, что поистине. Из табл. 22, определяющей полное отрицание, следует, что если поистине, то А может быть как неверным, так и неопределенным.

Вследствие этой двусмысленности для полного Трехзначная система Рейтинга отрицания нельзя найти оборотной операции, т. е. операции, ведущей от к А.

Связь 3-х видов отрицания выражается в том, что закон непротиворечия сохраняется в таких 3-х формах:

1)

Рейхенбах выстроил свою трехзначную систему для описания явлений квантовой механики. По его воззрению, гласить об истин­ности либо ложности выражений правомерно Трехзначная система Рейтинга только тогда, ког­да может быть выполнить их проверку. Если нельзя ни подтвер­дить истинность Выражения (т. е. верифицировать его), ни опровергнуть его при помощи проверки (фальсифицировать), то такое выражение должно оцениваться третьим значением — неопределенно. К числу таких выражений относятся высказы­вания о ненаблюдаемых объектах в микромире.

Сам Трехзначная система Рейтинга Рейхенбах так пишет о значении трехзначной логики для квантовой механики: «Введение третьего значения истинности не делает все выражения квантовой механики трехзначными. Рамки трехзначной логики довольно широки, чтоб включать класс истинно-ложных формул. Когда мы желаем все выражения квантовой механики ввести в состав трехзначной логики, то руководящей мыслью будет: поместить в истинно Трехзначная система Рейтинга-ложный класс те выражения, которые мы называем законами квантовой меха­ники»33.


trebovaniya-predyavlyaemie-k-promishlennim-zdaniyam.html
trebovaniya-predyavlyaemie-k-razvedke.html
trebovaniya-predyavlyaemie-k-resheniyu.html